偽隨機數產生

此模組提供偽隨機數產生，並實作多種基礎產生器演算法。大多數是透過外掛框架提供，該框架會為基礎產生器新增功能。

在此模組文件的結尾，有一些利基演算法，它們不使用此模組的標準外掛框架。它們可能適用於特殊目的，例如當品質不重要時的短產生時間、用於播種其他產生器等。

外掛框架

外掛框架實作了通用的API，用於基礎產生器的增強功能

• 在程序字典中操作產生器狀態。
• 自動播種。
• 手動播種支援，以避免常見的陷阱。
• 產生任何範圍內的整數，具有均勻分佈，且無明顯偏差。
• 產生任何範圍內的整數，範圍大於基礎產生器，具有均勻分佈。
• 產生具有均勻分佈的浮點數。
• 產生具有常態分佈的浮點數。
• 產生任意數量的位元組。

基礎產生器演算法實作了 Sebastiano Vigna 的 Xoroshiro 和 Xorshift 演算法。在迭代過程中，它們會產生一個大的整數（至少 58 位元），並對幾個大整數的狀態進行操作。

為了產生具有常態分佈的數字，將 Marsaglia 和 Tsang 的 Ziggurat 方法用於基礎產生器的輸出。

對於大多數演算法，都提供了跳躍函數來產生不重疊的序列。跳躍函數執行的計算相當於大量重複的狀態迭代，但執行時間大約相當於每個產生器位元的一次常規迭代。

提供了以下演算法

• exsss，預設演算法 (自 OTP 22.0 起)
  Xorshift116**，58 位元精確度，週期為 2^116-1

  跳躍函數：相當於 2^64 次呼叫

  這是 Xorshift116 產生器與 David Blackman 和 Sebastiano Vigna 在 2018 年論文中提出的 StarStar 加密器結合：擾亂線性偽隨機數產生器

  產生器不使用 58 位元旋轉，因此它比 Xoroshiro116 產生器更快，並且與 StarStar 加密器結合使用時，它不像 exrop (Xoroshiro116+) 那樣有任何弱低位。

  唉，這種組合比 exrop 慢約 10%，但儘管如此，由於其統計特性，它是預設演算法。

• exro928ss (自 OTP 22.0 起)
  Xoroshiro928**，58 位元精確度，週期為 2^928-1

  跳躍函數：相當於 2^512 次呼叫

  這是 David Blackman 和 Sebastiano Vigna 在 2018 年論文中提出的 58 位元版本的 Xoroshiro1024**：擾亂線性偽隨機數產生器，在 64 位元 Erlang 系統上執行速度僅比預設exsss演算法慢約 40%，但週期更長且統計特性更好，但另一方面，狀態較大。

  非常感謝 Sebastiano Vigna 在 58 位元改編方面的幫助。

• exrop (自 OTP 20.0 起)
  Xoroshiro116+，58 位元精確度，週期為 2^116-1

  跳躍函數：相當於 2^64 次呼叫

• exs1024s (自 OTP 20.0 起)
  Xorshift1024*，64 位元精確度，週期為 2^1024-1

  跳躍函數：相當於 2^512 次呼叫

• exsp (自 OTP 20.0 起)
  Xorshift116+，58 位元精確度，週期為 2^116-1

  跳躍函數：相當於 2^64 次呼叫

  這是先前預設演算法（exsplus，已棄用）的更正版本，該版本已被 Xoroshiro116+ (exrop) 取代。由於此演算法不使用旋轉，因此它的執行速度比 exrop 快一點（例如 < 15%）（必須執行 58 位元旋轉，而沒有原生指令）。請參閱演算法的首頁。

預設演算法

目前的預設演算法是exsss (Xorshift116**)。如果需要特定演算法，請務必始終使用seed/1來初始化狀態。

預設的演算法在 Erlang/OTP 版本之間可能會變更，並且選擇的演算法具有高速、小狀態和「夠好」的統計特性。

舊演算法

未記錄（舊）演算法已棄用，但仍實作，因此依賴它們的舊程式碼將產生與以前相同的偽隨機序列。

注意

現在未記錄的演算法的實作存在許多問題，這就是它們被棄用的原因。新演算法速度稍慢，但沒有這些問題

均勻整數範圍在機率分佈中存在偏差，對於小範圍來說不顯著，但對於小於產生器精度的較大範圍，產生較小數字的機率可能是產生較大數字的機率的兩倍。

大於或等於產生器精度的均勻整數範圍使用浮點回退，該回退僅計算 52 位元，這小於請求的範圍，因此請求範圍內的所有數字甚至不可能產生。

均勻浮點數具有不均勻密度，因此小值（例如小於 0.5）的間隔較小，隨著產生值接近 0.0 而減少，儘管對於足夠大的子範圍仍均勻分佈。新演算法產生形式為N * 2.0^(-53)的均勻分佈浮點數，因此它們等間隔。

產生器狀態

每次產生隨機數時，都會使用狀態來計算它，從而產生新狀態。狀態可以是隱含的，也可以是明確的參數和回傳值。

具有隱含狀態的函數在程序字典中，在鍵rand_seed下儲存的狀態上運作。如果呼叫函數時該鍵不存在，則會使用預設演算法自動呼叫seed/1，並建立一個相當不可預測的種子。

具有明確狀態的函數不使用程序字典。

範例

簡單用法；如果尚未完成，則使用非固定種子建立並播種預設演算法，並產生兩個均勻分佈的浮點數。

R0 = rand:uniform(),
R1 = rand:uniform(),

使用指定的演算法

_ = rand:seed(exro928ss),
R2 = rand:uniform(),

使用具有固定種子的指定演算法

_ = rand:seed(exro928ss, {123, 123534, 345345}),
R3 = rand:uniform(),

使用具有非固定種子的函數式 API

S0 = rand:seed_s(exsss),
{R4, S1} = rand:uniform_s(S0),

產生教科書基本形式 Box-Muller 標準常態分佈數字

R5 = rand:uniform_real(),
R6 = rand:uniform(),
SND0 = math:sqrt(-2 * math:log(R5)) * math:cos(math:pi() * R6)

產生標準常態分佈數字

{SND1, S2} = rand:normal_s(S1),

產生平均值為 -3 且變異數為 0.5 的常態分佈數字

{ND0, S3} = rand:normal_s(-3, 0.5, S2),

產生數字的品質

注意

內建的隨機數產生器演算法並非加密強大的。如果需要加密強大的隨機數產生器，請使用類似crypto:rand_seed/0的內容。

對於除了 exro928ss 和 exsss 之外的所有這些產生器，最低位元的隨機行為略遜於所有其他位元。exrop（和 exsp）的 1 位元，以及 exs1024s 的 3 位元。例如，請參閱Xoroshiro128+產生器原始碼中的此說明

除了通過 BigCrush 之外，此產生器還通過了 PractRand 測試套件，最高可達（並包含）16TB，但二進位階級測試除外，由於最低位元是 LFSR，因此該測試會失敗；所有其他位元都通過了所有測試。我們建議使用符號測試來提取隨機布林值。

如果這是一個問題；若要使用這些演算法產生布林值，請使用如下內容

(rand:uniform(256) > 128) % -> boolean()

((rand:uniform(256) - 1) bsr 7) % -> 0 | 1

對於一般範圍，exrop 的 N = 1，以及 exs1024s 的 N = 3

(((rand:uniform(Range bsl N) - 1) bsr N) + 1)

此模組中的浮點產生函數在從整數轉換時會浪費最低位元，因此它們可以避免此問題。

利基演算法

利基演算法 API 包含不使用外掛框架的特殊用途演算法，主要是為了效能考量。

由於這些演算法缺乏外掛框架支援，因此在範圍內產生數字（而不是基礎產生器的範圍）可能會成為問題。

至少有四種方法可以做到這一點，假設Range小於產生器的範圍

• 模數
  若要產生範圍在 0..Range-1 中的數字 V

  產生一個數字 X。
  使用 V = X rem Range 作為您的值。

  此方法使用rem，即整數除法的餘數，這是一個緩慢的操作。

  產生器的低位元會直接傳播到產生值，因此如果產生器的低位元存在弱點，此方法也會傳播它們。

  如果Range不是產生器範圍的除數，則產生的數字會產生偏差。範例

  假設產生器產生一個位元組，也就是說，產生器範圍是 0..255，而所需的範圍是 0..99（Range = 100）。那麼有 3 個產生器輸出會產生值0，它們是；0、100 和 200。但是只有 2 個產生器輸出會產生值99，它們是；99 和 199。因此，0..55中值V的機率是其他值56..99的機率的 3/2 倍。

  如果Range比產生器範圍小得多，則此偏差會變得難以偵測。經驗法則是，如果 Range 小於產生器範圍的平方根，則偏差就夠小。範例

  當 Range = 20 時的位元組產生器。有 12 個 (256 div 20) 產生最高數字的可能性，以及一個額外產生數字 V < 16 (256 rem 20) 的可能性。因此，產生低數字的機率相對於高數字是 13/12。若要以一定的信心偵測出差異，您需要產生比產生器範圍多得多的數字，在這個小例子中是 256。

• 截斷乘法
  當您有一個範圍為 2 的冪的產生器 (0..2^Bits-1) 時，若要產生範圍在 0..Range-1 之間的數字 V，

  產生一個數字 X。
  請使用 V = X * Range bsr Bits 作為您的值。

  如果乘法 X * Range 產生大數，此方法會變得非常緩慢。

  產生器的高位元會傳播到產生的值，因此如果產生器的高位元有缺陷，此方法也會傳播這些缺陷。

  如果 Range 不是產生器範圍的除數，則產生的數字會有偏差，幾乎與上面的模數方法相同。

• 位移或遮罩
  當您有一個範圍為 2 的冪的產生器 (0..2^Bits) 時，若要產生範圍為 2 的冪的數字 (0..2^RBits-1)，

  產生一個數字 X。
  請使用 V = X band ((1 bsl RBits)-1) 或 V = X bsr (Bits-RBits) 作為您的值。

  使用 band 進行遮罩會保留低位元，而使用 bsr 進行右移會保留高位元，因此如果產生器在高位元或低位元有缺陷，請選擇正確的運算子。

  如果產生器的範圍不是 2 的冪，但仍然使用此方法，則會引入與上面的模數方法相同方式的偏差。

• 拒絕

  產生一個數字 X。
  如果 X 在範圍內，則將其用作您的值，否則拒絕它並重複。

  理論上，此方法不一定會完成，但實際上您要確保拒絕的機率很低。然後，另一次迭代的機率會呈指數級下降，因此預期的平均迭代次數通常在 1 到 2 之間。此外，由於基礎產生器是全長的產生器，因此最終必須產生會中斷迴圈的值。

  這些方法可以組合使用，例如使用模數方法，並且僅當產生器值會產生偏差時才使用拒絕。或者使用位移或遮罩來縮減產生器值的大小，以便截斷乘法不會產生大數。

  在範圍 0..1 中產生浮點數（IEEE 745 雙精度，具有 53 位尾數）的建議方法（即 0.0 =< V < 1.0）是產生一個 53 位數字 X，然後使用 V = X * (1.0/((1 bsl 53))) 作為您的值。這將會產生形式為 N*2^-53 的值，且範圍內每個可能的 N 的機率都相等。